| 深度学习第二课第二周笔记—优化算法 |
1. Mini-batch 梯度下降法
对整个训练集进行梯度下降法的时候，我们必须处理整个训练数据集，然后才能进行一步梯度下降，即每一步梯度下降法需要对整个训练集进行一次处理，如果训练数据集很大的时候，如有500万或5000万的训练数据，处理速度就会比较慢。
但是如果每次处理训练数据的一部分即进行梯度下降法，则我们的算法速度会执行的更快。而处理的这些一小部分训练子集即称为Mini-batch。
对于普通的梯度下降法，一个epoch只能进行一次梯度下降；而对于Mini-batch梯度下降法，一个epoch可以进行Mini-batch的个数次梯度下降。
不同size大小的比较
普通的batch梯度下降法和Mini-batch梯度下降法代价函数的变化趋势，如下图所示：
- batch梯度下降：
- 对所有m个训练样本执行一次梯度下降，每次迭代时间较长；
- Cost function总是向减小方向下降。
- 随机梯度下降：
- 对每一个训练样本执行一次梯度下降，但是丢失了向量化带来的计算加速；
- Cost function总体的趋势向最小值的方向下降，但是无法到达全局最小值点，呈现波动的形式。
- Mini-Batch梯度下降：
- 选择一个1<size<m的合适的size进行Mini-batch梯度下降，可以实现快速学习，也应用了向量化带来的好处；
- Cost function的下降处于前两者之间。
Mini-batch 大小的选择
- 如果训练样本的大小比较小时，如m<=2000时 —— 选择batch梯度下降法；
- 如果训练样本的大小比较大时，典型的大小为： \(2^{6}、2^{7}、\cdots、2^{10}\)
2. 指数加权平均
关键函数：\[v_{t} = \beta v_{t-1}+(1-\beta)\theta_{t}\]
下图是一个关于天数和温度的散点图：
- 当β=0.9时，指数加权平均最后的结果如图中红色线所示；
- 当β=0.98时，指数加权平均最后的结果如图中绿色线所示；
- 当β=0.5时，指数加权平均最后的结果如下图中黄色线所示；
理解指数加权平均
例子，当β=0.9时： \[v_{100} = 0.9v_{99}+0.1\theta_{100}\\v_{99} = 0.9v_{98}+0.1\theta_{99}\\v_{98} = 0.9v_{97}+0.1\theta_{98}\\ \ldots\]
展开： \[v_{100}=0.1\theta_{100}+0.9(0.1\theta_{99}+0.9(0.1\theta_{98}+0.9v_{97}))\\=0.1\theta_{100}+0.1\times0.9\theta_{99}+0.1\times(0.9)^{2}\theta_{98}+0.1\times(0.9)^{3}\theta_{97}+\cdots\]
上式中所有θ前面的系数相加起来为1或者接近于1，称之为偏差修正。
总体来说存在，\((1-\varepsilon)^{1/\varepsilon}=\dfrac{1}{e}\)，在我们的例子中，1−ε=β=0.9，即\(0.9^{10}\approx 0.35\approx\dfrac{1}{e}\)。相当于大约10天后，系数的峰值（这里是0.1）下降到原来的1/e，只关注了过去10天的天气。
指数加权平均实现
\[v_{0} =0\
v_{1}= \beta v_{0}+(1-\beta)\theta_{1}\
v_{2}= \beta v_{1}+(1-\beta)\theta_{2}\
v_{3}= \beta v_{2}+(1-\beta)\theta_{3}\
\ldots\]
因为，在计算当前时刻的平均值，只需要前一天的平均值和当前时刻的值，所以在数据量非常大的情况下，指数加权平均在节约计算成本的方面是一种非常有效的方式，可以很大程度上减少计算机资源存储和内存的占用。
指数加权平均的偏差修正
在我们执行指数加权平均的公式时，当β=0.98时，我们得到的并不是图中的绿色曲线，而是下图中的紫色曲线，其起点比较低。
- 原因： \[v_{0}=0\\v_{1}=0.98v_{0}+0.02\theta_{1}=0.02\theta_{1}\\v_{2}=0.98v_{1}+0.02\theta_{2}=0.98\times0.02\theta_{1}+0.02\theta_{2}=0.0196\theta_{1}+0.02\theta_{2}\]
如果第一天的值为如40，则得到的v1=0.02×40=8，则得到的值要远小于实际值，后面几天的情况也会由于初值引起的影响，均低于实际均值。
- 偏差修正：
使用\(\dfrac{v_{t}}{1-\beta^{t}}\) 偏差修正得到了绿色的曲线，在开始的时候，能够得到比紫色曲线更好的计算平均的效果。随着t逐渐增大，\(β^t\)接近于0，所以后面绿色的曲线和紫色的曲线逐渐重合了。
虽然存在这种问题，但是在实际过程中，一般会忽略前期均值偏差的影响。
3. 动量(Momentum)梯度下降法
动量梯度下降的基本思想就是计算梯度的指数加权平均数，并利用该梯度来更新权重。
算法实现
β常用的值是0.9。
在我们进行动量梯度下降算法的时候，由于使用了指数加权平均的方法。原来在纵轴方向上的上下波动，经过平均以后，接近于0，纵轴上的波动变得非常的小；但在横轴方向上，所有的微分都指向横轴方向，因此其平均值仍然很大。最终实现红色线所示的梯度下降曲线。
算法本质解释
在对应上面的计算公式中，将Cost function想象为一个碗状，想象从顶部往下滚球，其中：
- 微分项dw,db想象为球提供的加速度；
- 动量项vdw,vdb相当于速度；
小球在向下滚动的过程中，因为加速度的存在速度会变快，但是由于β的存在，其值小于1，可以认为是摩擦力，所以球不会无限加速下去。
4. RMSprop
除了上面所说的Momentum梯度下降法，RMSprop（root mean square prop）也是一种可以加快梯度下降的算法。
同样算法的样例实现如下图所示：
这里假设参数b的梯度处于纵轴方向，参数w的梯度处于横轴方向（当然实际中是处于高维度的情况），利用RMSprop算法，可以减小某些维度梯度更新波动较大的情况，如图中蓝色线所示，使其梯度下降的速度变得更快，如图绿色线所示。
在如图所示的实现中，RMSprop将微分项进行平方，然后使用平方根进行梯度更新，同时为了确保算法不会除以0，平方根分母中在实际使用会加入一个很小的值如ε=10−8。
5. Adam优化算法
Adam 优化算法的基本思想就是将 Momentum 和 RMSprop 结合起来形成的一种适用于不同深度学习结构的优化算法。
算法实现
- 初始化：\(V_{dw} = 0，S_{dw}=0，V_{db}=0，S_{db} = 0\)
- 第t次迭代：
-
Compute \(dw，db\) on the current mini-batch
-
\(V_{dw}=\beta_{1}V_{dw}+(1-\beta_{1})dw，V_{db}=\beta_{1}V_{db}+(1-\beta_{1})db\)<–”Momentum”
-
\(S_{dw}=\beta_{2}S_{dw}+(1-\beta_{2})(dw)^{2}，S_{db}=\beta_{2}S_{db}+(1-\beta_{2})(db)^{2}\)<-“RMSprop”
-
\(V_{dw}^{corrected} = V_{dw}/(1-\beta_{1}^{t})，V_{db}^{corrected} = V_{db}/(1-\beta_{1}^{t})\)<-偏差修正
-
\(S_{dw}^{corrected} = S_{dw}/(1-\beta_{2}^{t})，S_{db}^{corrected} = S_{db}/(1-\beta_{2}^{t})\)<-偏差修正
-
\(w:=w-\alpha\dfrac{V_{dw}^{corrected}}{\sqrt{S_{dw}^{corrected}}+\varepsilon}，b:=b-\alpha\dfrac{V_{db}^{corrected}}{\sqrt{S_{db}^{corrected}}+\varepsilon}\)
-
超参数的选择
- \(\alpha\): 需要调试；
- \(\beta_1\): 0.9
- \(\beta_2\): 0.999
- \(\varepsilon\): \(10^{-8}\)
Adam代表的是Adaptive Moment Estimation。
6. 学习率衰减
在我们利用 mini-batch 梯度下降法来寻找Cost function的最小值的时候，如果我们设置一个固定的学习速率α，则算法在到达最小值点附近后，由于不同batch中存在一定的噪声，使得不会精确收敛，而一直会在一个最小值点较大的范围内波动
但是如果我们使用学习率衰减，逐渐减小学习速率α，在算法开始的时候，学习速率还是相对较快，能够相对快速的向最小值点的方向下降。但随着α的减小，下降的步伐也会逐渐变小，最终会在最小值附近的一块更小的区域里波动
实现
-
常用： \[\alpha = \dfrac{1}{1+decay_rate*epoch_num}\alpha_{0}\]
-
指数衰减： \[\alpha = 0.95^{epoch_num}\alpha_{0}\]
-
其他： \[\alpha = \dfrac{k}{epoch_num}\cdot\alpha_{0}\]
-
离散下降
7. 局部最优问题
在低纬度的情形下，我们可能会想象到一个Cost function 如左图所示，存在一些局部最小值点，在初始化参数的时候，如果初始值选取的不得当，会存在陷入局部最优点的可能性。
但是，如果我们建立一个神经网络，通常梯度为零的点，并不是如左图中的局部最优点，而是右图中的鞍点（叫鞍点是因为其形状像马鞍的形状）。
在一个具有高维度空间的函数中，如果梯度为0，那么在每个方向，Cost function可能是凸函数，也有可能是凹函数。但如果参数维度为2万维，想要得到局部最优解，那么所有维度均需要是凹函数，其概率为\(2^{-20000}\)，可能性非常的小。也就是说，在低纬度中的局部最优点的情况，并不适用于高纬度，我们在梯度为0的点更有可能是鞍点。
在高纬度的情况下：
- 几乎不可能陷入局部最小值点；
- 处于鞍点的停滞区会减缓学习过程，利用如Adam等算法进行改善。
